数学分析第四章函数的连续性–介值定理在考研真题中的具体应用…(数学分析第四章课后答案)

则 使得

分析：方法一可以构造闭区间上的连续函数，然后利用根的存在定理，方法二可以利用极限的保号性，找到一个相应的小的闭区间利用根的存在性定理。
证明：方法一：令

则在上连续,且

由根的存在定理可得

故

方法二：因为

由极限的保号性可得，存在，使得当

则

当

则

则

由根的存在定理可得

【例2】 （2020中科院、2020首都师范、2009四川大学、2006华中师大、2004上海大学、2000河海大学、2007西北大学、）
设函数在闭区间上连续，

证明：对任意自然数，存在

证明：方法一：记

则可得

若对某个有

则结论已证。否则必有，使得

由根的存在定理可得

使得

即证。
总结：此题很多时候区间会换成，,其实方法都是相同的，另外把这个结论记住，就可以轻易解决掉19年北京大学真题和18年赣南师范大学真题。【变形1】 （2018赣南师范大学）设函数在闭区间上连续且

证明：存在，使得

分析： 直接利用例2的结论，令

【变形2】 （2019北京大学）设函数在闭区间上连续，

证明：存在

使得

分析： 直接利用例2的结论，对任意自然数，存在

此时令

此时即可得

大家注意哦， 如果知道这个例2结论，考试时候很快就可以写出来了，如果没有总结到，估计会很难想到！
【例3】 （2006安徽大学、2005深圳大学、、2007西南交大、2009北京工业、2012北京科技、2012首都师大）
设函数在闭区间上连续，若

且有一组正数，

证明：存在使得

证明： 因为在闭区间上连续，则由最值定理可得，记

由于

由介值定理可得在与之间存在，使得

总结：此题有很多变形，很多都是在

上面进行变形！【变形3】在闭区间上连续，且

证明存在

使得

【变形4】在闭区间上连续，且

证明存在

使得

【例4】
设函数在开区间上连续，若有数列

使得

则对与之间任意数,必可找到数列

分析：很多同学看到这个题都会先楞一下，认为这个题出的有错误，比如有人举例说，

此时在x=0处右侧极限都存在，则根据归结原则可得题目矛盾！大家注意哦，函数有很多种，不仅仅上面的两种，如

显然此时可得在x=0处右侧极限不存在
对应图像为：通过图像也可以看出来x=0处右侧极限不存在，此时可得该题并没有问题！然后我们再思考这个题，肯定很多同学会想到利用介值定理，但是问题在于介值定理对应的饿区间是闭区间，怎么办呢？下面详细写下步骤！
证明：若 或 ,则取 或 即可.

由于

由极限的保号性可得，

即

则当

有

则在区间

上由连续函数的介值定理可得存在介于与 之间，使得

显然可得

又

则可得